(3) معدل التغير – الاشتقاق

الدالة كما تم تعريفيها مُسبقًا هي وصفةٌ لعلاقةٌ بين متغيرين، أحدهم تابعٌ والآخر مستقل عند حالةٍ محددة.

لكن ماذا إن أردنا معرفة حال تلك الدالة عند ظَرفٍ معين؟ حين يتسارع المُتغير المُستقل مثلًا بمعدلٍ معين، وحين نُريد دراسة سلوكُ المتغير التابع؟ من هنا تأتي فكرة ومفهوم الاشتقاق، اللذي يُعدُ ركيزةً لعلم التفاضل والتكامل.

المعدل المتوسط للتغير والاشتقاق

لتقريب مفهوم الاشتقاق عند دراسته، لنتختار نقطتين على دالة ما f في الفترة الواقعة بين (x, f(x)) ولنمثلها بالرسم البياني التالي:


واذًا عند دراسة معدل التغير المتوسط عند تلك النقطتين سنستعمل الصيغة الرياضية التالية للاشتقاق، حينما تؤول h الى الصفر.

تعتبر الصيغة التالية هي الصيغةُ الرئيسة في الاشتقاق ويطلق عليها “الاشتقاق باستعمال التعريف – Definition of the Derivative” لكن هناك صيغٌ أخرى للاشتقاق أو ما يعرف اصطلاحًا بالتفاضل، ودوالٌ اخرى ليست بدوالٍ خطية، مثل مضروب دالتين، او مقسوم دالتين، او دوالُ اللوغريتم الطبيعي والدوال المثلثية اللتي سيتم التطرق لها وطرق اشتقاقها فيما يأتي

صيغة اشتقاق مجموع او مطروح دالتين لدوال كثيرة الحدود

صيغة اشتقاق مضروب دالتين

صيغة اشتقاق مقسوم دالتين

صيغ اشتقاق دالة القوة

صيغة اشتقاق دالة اللوغريتم الطبيعي

صيغة الدوال الأسية

صيغ اشتقاق الدوال المثلثية

تطبيقات اخرى على الاشتقاق

تدخل تطبيقات الاشقتاق في العديد من مجالات الحياة، سواء كانت في المجالات الطبية أو الهندسية او التجارية، وأهم المفاهيم على تطبيقات الاشتقاق هو حساب القيم القصوى – Extreme Value اللذي نستعمل فيه المشتق الاول، ودراسة التقعر – Concavity باستعمال المشتق الثاني.

اترك تعليقًا

Please log in using one of these methods to post your comment:

شعار ووردبريس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s